5. Some common units

简单地讨论一下表达时域振幅(Amplitude)常用的单位。

5.1 peak, peak-peak and rms

这里介绍"amplitude"（振幅）的尺度单位。（本例子是Volts，伏特）这同样涉及到Spectrum和Spectral Densities。通常用三个不同的单位。

$V_{pk}$ “Volts Peak"电压峰值作为Amplitude的scale是最显而易见的，它是从平均值到peak的高度(例如，如果信号没有直流分量的话，从0开始)
$V_{pk-pk}$ “Volts peak-to-peak”，峰-峰值，这个测量结果可能比两倍的"Volts peak"大，而且通常被实验者关注，因为它可以简单地从示波器直接读出（不管任何DC offset)
$V_{rms}$ “Volts rms” or “Volts root-mean-square”。被定义为与被测信号【具有相同功率的DC voltage(直流电压)】。对于正弦信号（DFT输出端的所有信号都是正弦信号）这个关系是： $$ V_{rms}=\frac{V_{pk}}{\sqrt{2}} $$ $V_{rms}$ 即"与被测信号功率相同的直流信号的电压”

在接下来我们会用$V_{rms}$作为首要的DFT结果单位。如果有需要的它可以被转换到其他单位，如上公式所述。
因为DFT输出的一个确切的频率会是一个复数，这个振幅(amplitude)被定义成这个复数的绝对值，即，这个振幅(amplitude)是非负实数。
（补充：虽然通常的$V_{rms}$由积分定义，而且这个结果取决于定积分，也就是积分区间改变可能导致不同的结果。在这个语境里面(如一个正弦信号的振幅测量)通常假设是整数个周期的平均值。）

5.2 decibel

进一步的，所有上面三个测量可以被表达成"decibel"（分贝）。通常分贝(dB)的定义是：

任何以dB表示的值表达的是一个比率而不是绝对振幅。这个【参考振幅】通常在符号dB后面被表达，如"dBV" or “dBμV” 分别表示它们的参考振幅是1V或者1μV。
在高频电子，这个最常用的power和amplitude测量单位叫"dBm"。它的参考是1mW 的功率输入到一个假设的负载阻抗，通常这个负载阻抗是50Ω。
由dBm表示的 amplitude $x$ 转换到 由$V_{rms}$表示的 amplitude voltage $U$ 的方式如下： $$ U_{rms}=\sqrt{P\times50\Omega} $$ 功率P由此计算: $$ 1W\times10^{-3+0.1\times\frac{x}{1dBm}} $$ 例如：上面的测试信号可以被表示成：
2Vrms=2.828Vpk=5.657Vpk-pk=6.02dBVrms=126.02dBμVrms=19.03dBm

6. Sampling time, frequency bins etc.

DFT变换，把长度为N的数组，转换成另一个长度为N的数组。它并不关心采样时间、frequency bins等。为了正确地展现结果，上面这些是需要关心的。我们只留下一个自由度，那就是DFT的长度N。
这个"frequency bin"（也被叫做"频率分辨率"，“frequency resolution”）定义为： $$ f_{res}=\frac{f_s}{N} $$ 注意，“frequency bin"的能力，是在频谱里区分两个相近的peaks的能力，它有些时候也被叫做"frequency resolution”，但在本文不是。“frequency bin"强取决于选择的窗函数（尤其是窗的带宽，看Section 8）。两个信号可以被分辨的最小分离度也取决于两个amplitudes的比率，并且典型地，几倍大于$f_{res}$，例子的话看附录的[Harris78]。
如上面讨论，这个DFT会产生只有N/2+1个清楚的复数。它们与频率的关系是 $$ f_m=mf_{res}, m=0…N/2 $$ 第一个元素，y(0)，对应的是信号的DC平均，因此没有虚部。最后一个元素，y(N/2)，对应的是奈奎斯特频率$f_{N/2}=(N/2)f_{res}=f_s/2=f_{Ny}$，也没有虚数部分，因为输出数组具有共轭对称性。第一个和最后一个frequency bins通常没有太大用。
因此在一个实际的应用我们可以说我们在输出处获得N/2 个frequency bins，每一个输出的frequency bins宽度为fs/N。这明显的信息丢失被解释为输出是复数，但是输入是实数。
补充：这个结果复数给出的相位是随机的，对于这些被随机噪声支配(dominated)的frequency bins。如果frequency bins被正弦信号支配，这或许是有意义的。它通常通过使用"相同算法处理的，相同频率的"参考正弦信号（意思就是同样方法生成的同频正弦信号），然后减去两个结果相位来获得两个正弦信号之间的相对相位，同时消除由于算法引起的任何相位偏移。然而，在更多的应用，DFT得到的相位被忽视，因为经常取绝对值来看，例如Equation 23 (Spectrum) or Equation 24（Spectral Density）。

本段小结：
DFT的长度N决定frequency resolution，这很好理解，【采样的频率】范围被平均分为N份。但是经过采样后只有奈奎斯特采样频率以内的频率是能用的。实际上N/2是DFT输出结果的有效范围：y(0)对应DC，y(N/2)对应【奈奎斯特频率】。
对于实际应用，经过DFT得到N/2个frequency bins，每个frequency bins的宽度为fs/N。（后N/2个与前面是共轭对称）

7. Window function

如果我们简单地采取一段长度为N，但是超出了含有正弦信号的时间序列，来进行DFT，我们通常会发现，这个正弦信号理应很简单地只在一个frequency bin呈现一个锐利的peak，但取而代之的是如有一些如图三一样很丑的东西。

这个原因是DFT"默认"这个信号是【周期性的】，例如，在长度N的时域上无限地重复它自己。但是如果这个正弦信号的频率的输出并不是在准确的几个frequency resolution $f_{res}$的准确倍数，例如，不落在准确的frequency bin的中心，那么上面的假设不成立，然后由于这个默认的"连续循环”，DFT会在最后一个样本和第一个样本之间"看到"一个不连续。这个【“不连续”】会把功率分布在整个spectrum上。
这个补救措施是在DFT前，对时域信号【加窗】。这个窗函数从0附近开始，然后在中间增加到最大值，然后减小。因此这个"不连续"就被消除掉了。很多窗函数已经被定义和命名了。它们的设计通常满足一些妥协，在频域peak的宽度、amplitude准确度，以及减小频谱泄露到其他frequency bins的rate。

7.1 Hanning窗作为例子

这一部分使用简单但有效的Hanning windows作为例子，讨论window function的通用属性。其他窗函数，包括flat-top窗，会在附录C、D讨论。
N点长DFT会使用N点长的窗函数，这个窗函数被一个实数数组 $w_j$ 定义，j=0…N-1。使用窗函数的方法是，在进行DFT之前，对时间序列点乘$x_j$，如，使用 $x^{\prime}_{j}=x_j\cdot w_j$ 作为DFT的输入。
对于Hanning窗，定义如下： $$ w_j=\frac{1}{2}[1-cos(\frac{2\pi \cdot j}{N})]; j=0…N-1 $$ 时域正如图4所示：

所有这里出现的windows有如下的对称性： $$ w_j=w_{N-j}……(18) $$ 这暗示了对于偶数长度N，$w_0$ 和 $w_{N/2}$ 仅仅出现一次，然而其他所有系数出现两次。因此只有N/2+1个系数$w_0,…,w_{N/2}$ 需要被计算和储存。注意到这个对称暗示了N个元素的向量 {$w_j$} ,j = 0…N-1不如图四那样堆成，例如通常我们有$w_0 \neq w_{N-1}$ 。如图5中展示，当N=8的时候，这个Equation(18)给出的对称性：

我们定义接下来的两个和式用于归一化的目的： $$ S_1=\sum_{j=0}^{N-1}w_j $$ $$ S_2=\sum_{j=0}^{N-1}w_j^2 $$ 因为我们会用$S_1$和$S_2$来归一化我们最终的结果，我们可以对这个窗值$w_j$点乘任何常数。

7.2 窗函数在频域

这个窗函数的传递函数$a(f)$表示窗对于在一个f frequency bins的偏移的正弦信号的响应。传递函数可以通过在附录B里给出的公式，从窗的值$w_j$ 被计算出。
Hanning窗的传递函数 $a(f)$ 在图6中给出。除了中心peak（我们想要的部分）这里还有更多的peaks在有规律的间隔。它们被叫做"旁瓣"，并且是我们不想要的。设计窗函数的一个目标是减小这些旁瓣的高度。注意Figure3和Figure6 的y轴是不同的，在 20bins 的频率偏移处，对比Figure 3 和 Figure 6, 矩形窗的旁瓣是-36dB，然而Hanning窗是-88dB。

这3dB的带宽 $W_{3dB}$ 在附录C中列出给每一个窗，从Equation 42计算出来，通过对自变量f 数学求解方程 a(f)=-3dB。对于Hanning窗，$W_{3dB}=1.44$bins。我们当然想要这个带宽不要那么宽，也就是可以提高频率选择性质。然而，减小sidelobes的level会增加这个bandwidth，因此需要寻找一个妥协。
这个window的"【归一化的等效噪声带宽】（Normalized Equivalent Noise Bandwidth, NENBW）"，用frequency bins表达：
$$ NENBW=N\frac{S_2}{(S_1)^2} $$ 这个"【有效噪声带宽】"(Effective noise bandwidth ENBW)： $$ ENBW=NENBW\cdot f_{res}=NENBW \cdot \frac{f_s}{N}=f_s\frac{S_2}{(S_1)^2} $$ $f_s$是采样频率，$f_{res}$是一个frequency bin的宽度。
对于Hanning窗，我们有NENBW=1.5bins。当输出的Spectrum要表达成Spectral density（例如进行噪声测量）的时候，需要这个ENBW（在Section 1中已经解释）。由于窗在frequency domain的宽度，任何frequency bin收集不单单是这个noise在这个frequency bin，还从邻近的bins收集。对于这个现象，通过有效噪声带宽（ENBW）划分这些结果。

另一个重要的特性是【最大振幅误差】(maximum amplitude error) $e_{max}$，表示这个$a(f)$的方差从0dB开始到$-0.5≤f≤0.5$的范围。对于正弦信号amplitude的估计里，它表达这个最大的可能误差，这个误差可能掉落到在一个频点以内的任何地方。对于Hanning窗我们发现$e_{max}=-1.42dB$。一种叫"flat-top"窗 （在附录D中讨论）有着更低的$e_{max}$在更宽的带宽里，因此如果正弦信号的amplitude要从这个DFT结果里面被估计，这种"flat-top window"。

可以看到旁瓣的最终的滚动比率取决于不同的窗函数和它的边界（窗函数被0扩展在它的两边）。一个窗函数带有 [一个阶跃的不连续] 下降为$1/f$，一个连续函数带有 [一个不连续的一阶导数] 下降为$1/f^2$，一个窗函数带有 [一个连续的一阶导数] 下降为$1/f^3$等等。对于Hanning窗，包括函数自身和它的一阶导数都是边界连续的，这个旁瓣因此下降为 $1/f^3$ 。对于这些由cosine terms的和定义的窗函数，在Section C.7中讨论这个关系。这个"旁瓣下降比率（Sidelobe Dropping Rate）“将会在下面的表格被缩写成"SLDR”。

本段小结：
一段信号在开始和结束往往是不连续的，进行DFT的时候需要加窗来避免频谱泄露。窗函数可以由公式计算出来，对于N点DFT，N是偶数，这个窗函数的长度也是N，由于对称性，需要计算N/2+1个点。N0和N/2+1是独立的，其他点都有对称。
计算出窗函数的时候，顺带把S1和S2计算出来，与点数N、采样率fs结合求出ENBW，这个ENBW可以用于把Spectral Density转换成Spectrum。
窗函数的选择有一些妥协，如-3dB带宽和旁瓣抑制效果的矛盾等。如果需要从DFT的结果看正弦信号的准确peak，需要选择flat-top window。

8. Scaling the results

现在我们回到归一化FFT结果的问题。假设我们有一个长度为N的输入时间序列$x_{j}$，已经通过Equation 2被转换成Volts。 $$ U_{LSB}=\frac{U_{max}-U_{min}}{2^n}……(2) $$ 在点乘选择好的窗函数后，进行real-to-complex FFT正如Equation 3所定义的：

我们也需要"window sums"：S1和S2，从Equation 19 Equation 20定义的: $$ S_1=\sum_{j=0}^{N-1}w_j……(19) $$ $$ S_2=\sum_{j=0}^{N-1}w_j^2……(20) $$ 如Section 4描述的那样，这个FFT的结果是一个长度为N/2+1的复向量$y_m$。我们说这是一个Power Spectrum，用$V_{rms}^2$表达： $$ PS_{rms}(f_m=m\cdot f_{res})=\frac{2 \cdot \left | y_m \right |^2}{S_1^2}; m=0…N/2, ……(23) $$ 这个因子S1扮演N的角色，这是我们在Section 4中发现是必须的。这考虑了DFT的长度N、window function的增益，以及计算窗值wj时点乘的任何常系数。
注意：这里进行DFT得到的是频谱，在Section 1 中提到的"自相关的时域信号与它的频谱密度呈傅里叶变换对"是DTFT。
另一个因子S2，出于我们大概用一个高效的FFT算法，这个算法不计算多余的负频率结果。严格来说，这个因子不应该被第一个frequency bin (m=0) 应用，然而我们忽视了这个区别并相同地对待这第一个frequency bin和其他bins，因为以下的原因：

1. 第一个bin的结果意味着0频率（DC），是简单的时域平均。如果这个平均值得被关注，这个DFT方法并不适用于测量它。更好的检测时域的DC分量方法是，简单的时域平均，或者更好的，用时域低通滤波器。
2. 如果窗函数被使用，这里没有协调的的方法来归一化这个m=0的结果。由于在频域窗的宽度，这里DC分量会从m=0 bin 泄露到邻近的bins。在flat-top窗，例如，m=1 bin会得到与m=0 bin几乎同样的结果。如果m=0 bin被区别对待，因为这个DC分量，m=1 bin会展现出比m=0 bin 更强3dB，这显然是矛盾的。
3. 这个peak amplitude和rms value之间的关系(10)不包含0频率，这进一步使归一化问题复杂化。 $$ V_{rms}=\frac{V_{pk}}{\sqrt{2}} $$
4. 通常时域信号的DC分量在进行FFT之前经常就已经被消除了（看Section11）。

类似的，这个最后的frequency bin(m=N/2) ，即Nyquist frequency fs/2，原则上应该被区别对待，因为它没有虚部，如果N是偶数。实际应用中这通常也可以被忽视，因为适当的"抗混叠滤波器"在ADC进行转换前已经消除了这个频率。

我们现在回到"normal result"的刻度上。如果想要的结果是一个用 V2/Hz表达的 power spectral density (PSD) ，获得这个需要用Power Spectrum (PS) 除以"有效噪声等效带宽ENBW"

这个关系有非常重要的结果。考虑这个图一展示的例子信号，让DFT的长度不同，这个频率分辨率$f_{res}$和噪声带宽ENBW都与N成反比例变化。在一个用方程23归一化的spectrum，这个1234Hz peak 的 amplitude将如预料一样保持不变。如果我们增加N即减小$f_{res}$，这个50Hz到2000Hz的噪声平面的等级，将会在这个spectrum减小。这是因为一个frequency bin的宽度减小了，因此更小的等效分布噪声功率 减小到一个frequency bin上。
计算一个spectral density，通过Equation 24的归一化来补偿这个效果，然后产生一个独立于N 不变的噪声平面，正如它应该成为。在这个归一化的方法，然而，1234Hz的peak会随着N增加。
因此这个FFT输出的 peak和noise plateau的比率，取决于N，我们需要仔细地区分 spectra 和 spectral densities。这个【Section 2. Introduction】提到的魔术数字用于在它们之间转换，是 “effective noise bandwidth ENBW” ，因此它应该总是被记录，当一个spectrum或者spectra density被计算出来的时候，这样这个结果可以被转换成另一个形式在更广泛的地方，因为这个关于频率分辨率$f_{res}$和被使用的窗口的信息不容易被获得。

这个输出后面的处理是直截了当的：如果想要的结果是 linear spectrum( 用V表达 )，或者一个linear spectral density（用V/√Hz表达），简单地提取 相应的power spectrum或者spectral density的均方根（square root） $$ LSD=\sqrt{PSD} $$ $$ LS=\sqrt{PS} $$ 注意，然而，如果几个spectra/spectral densities是被平均的（看【Section 10. Averaging and overlap】），这个平均必须以"Power Spectra/Power spectral densities"的方式执行，并且这个均方根如果需要，必须仅在最后执行。
最后这个结果可以被转换成其他单位（例如Vpk或者dB），根据【Section 5. Some common units】。

本段小结：
ADC进入的量化电压，转成浮点电压(实数数组)，加窗，计算窗的时候获得"windows sums"S1和S2，然后通过real-to-complex FFT后得到Spectrum，值取绝对值的平方乘2除以S1，得到归一化的以$V_{rms}^2$为单位的Power Spectrum。
如果需要的是Power Spectral Density，则除以"ENBW"。最后，如果需要"Linear"而不是"Power"，可以开方根，如果转换成其他单位（Vpeak或者dB），参考Section 5提到的公式。